ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলি
TRIGONOMETRIC RATIOS AND IDENTITIES
Questions on Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities
1.প্রমাণ কর যে,
i.sin² θ (1 + cot² θ) + cos² θ (1 + tan² θ) = 2
ii.sec² θ cosec² θ = tan² θ + cot² θ + 2
iii.(1 + tan θ – sec θ) (1 + cot θ + cosec θ) = 2
iv.cos A 1 + sin A + 1 + sin AcosA = 2 sec A
v.Sec4θ – cosec4θ + tan⁴ θ – cot⁴ θ = 2 (sec² θ tan² θ – cosec² θ cot² θ)
vi.cos² β cosec² α – sin² β cot² α – cos² β cot² α + sin² β cosec² α = 1
vii.cosec Acosec A − 1 – cosec Acosec A + 1 = 2 sec² A
viii.√ 1 − sin A1 + sin A = sec A – tan A
ix.√ sec θ + 1sec θ − 1 = cot θ + cosec θ
x.sin A − 2 sin³ A 2 cos3 A − cos A = tan A
xi.1 + cos θ + sin θ1 + cos θ − sin θ = cos θ 1 − sin θ
xii.tan θ + sec θ − 1tan θ − sec θ + 1 = 1 + sin θcos θ
xiii.(tan θ + sec θ) ² = 1 + sin θ1 − sin θ
xiv.1 + 4 cosec² θ cot² θ = (cosec² θ – cot² θ) ²
xv.(1 + sin A + cos A) ² = 2 (1 + sin A) (1 + cos A)
xvi.cosec A + sec A cot A + tan A = sin A + cos A
xvii.tan² α − cot² α1 + cot² α = sin² α − cos² α cos² α
xviii.1 + tan²θ − 2 tanθ1 + cot²θ − 2 cotθ= 1 + tan²θ1 + cot²θ
xix.1 + cot²A1 + cosec A = cosecA
xx. sinA (1 + tan A) + cos A (1 + cot A) = sec A + cosec A
xxi.1 + 2 sin θ cos θ sin θ + cos θ− 1 − 2 sin θ cos θ cos θ − sin θ= 2 sin θ
xxii.1cosec θ + cot θ−1sin θ= 1sin θ−1cosec θ −cotθ
xxiii.(sec θ – cos θ) (cosec θ – sin θ) (tan θ + cot θ) = 1
xxiv.cosec A cosec A − 1 + cosec Acosec A + 1 = 2 sec² A
xxv.1 + 3 sin α − 4 sin³ α 1 − sin α = (1 – 2 sin α) ²
xxvi.cot θ + cosec θ − 1cot θ − cosec θ + 1 = 1 + cot θ sin θ
xxvii.1 − tan²A1 + tan²A = 2 cos²A – 1
xxviii.(sec A – tan A) ² = 1 − sinA 1 + sinA
xxix. 2 − tan²A1 + tan²A= 3cos²A – 1
xxx.1 + (cosec xtany )21 + (cosec ztany)2= 1 + (cotxsiny )21+(cotzsiny )2
xxxi.cos θ = cotθ√1+ cot2θ
xxxii.sec A − sec B tan B + tan A+ tan B − tan Asec A + sec B = 0
xxxiii.6 sin⁴ θ – 4 sin6θ + 6 cos⁴ θ – 4 cos6 θ = 2
2.মান নির্ণয় কর
i.secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ – tanθ) – এর মান নির্ণয় কর। 1/2
ii.cosecθ – cotθ = √2 – 1 হলে, (cosecθ + cotθ) – এর মান নির্ণয় কর। √2 +1
iii.sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ × cosθ – এর মান নির্ণয় কর। 0
iv.sinθcosθ = 12 হলে, (sinθ + cosθ) – এর মান নির্ণয় কর। 0
vi.cosecθ + cotθ = √3 হলে, cosecθ এবং cotθ – এর মান নির্ণয় কর।2/√3 ,1/√3
vii.sinθ + cosθsinθ − cosθ = 7 হলে, tanθ – এর মান নির্ণয় কর।4/3
viii.cosecθ + sinθcosecθ − sinθ = 53 হলে, sinθ – এর মান নির্ণয় কর। 1/2
ix.secθ + cosθ = 53 হলে, (secθ – cosθ) – এর মান নির্ণয় কর। 3/2
x.5sin²θ + 4cos²θ = 92 হলে, tanθ – এর মান নির্ণয় কর। 1
xi.sec2θ + tan2 θ = 1312 হলে, (sec⁴θ – tan⁴θ) – এর মান নির্ণয় কর। 13/12
xii.sinθ + cosecθ = 2 হলে, sin10θ+cosec10θ এর মান নির্ণয় করি। (উত্তরঃ 2)
3. (i) PQR ত্রিভুজে ∠Q সমকোণ। PR = √5 একক এবং PQ – RQ = 1 একক হলে, cosP – cosR – এর মান নির্ণয় করি। (1/√5)
(ii) XYZ ত্রিভুজে ∠Y সমকোণ। XY = 2√3 একক এবং XZ – YZ = 2 একক হলে, (secX – tanX) – এর মান নির্ণয় করি। (1/√3)
(iii) যদি ΔABC এর সমকোণ সংলগ্ন বাহুদয় a এবং b তবে দেখাও যে,
a sin A + b cos A = √(a² + b²)
4. (i) sinθ = 45 হলে, cosecθ1+cotθ এর মান নির্ণয় কর। (2021)
(ii) যদি tanθ = 34 হয়, তবে দেখাও যে √1 − sinθ 1+ sinθ = 12
5.দেখাও যে, 3 (sin⁴ θ + cos⁴ θ) – 2 (sin⁶ θ + cos⁶ θ) রাশিটির মান সর্বদা সমান এবং θ-এর মানের উপর নির্ভরশীল নয়।
6.সম্পর্কগুলি থেকে ‘θ’ অপনয়ন করি:
x = 2sinθ, y = 3cosθ উত্তরঃ x24+ y29=1
5x = 3secθ, y = 3tanθ উত্তরঃ 25x2− y2=1
x=acosθ + bsinθ, y=bcosθ-asinθ উত্তরঃ x2+y2= a2+b2
যদি x = asinθ এবং y = btanθ হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, a²x²− b² y² = 1
7.যদি a cos θ – b sin θ = c হয়, তবে প্রমান কর যে, a sin θ + b cos θ =√a² + b² − c2, (0° < θ < 90°)
8.যদি sinα = 513 হয়, তবে দেখাও যে tanα + secα = 1.5
9.যদি tanA = nm হয়, তবে sinA ও secA এর মান নির্ণয় করি।
10.যদি cosθ = x√x²+y² হয়, তাহলে দেখাও যে, xsinθ = ycosθ
11.যদি sinα = a²−b²a2+ b² হয়, তাহলে দেখাও যে, cotα = 2aba²−b²
12.যদি sinθx= cosθy হয়, তাহলে দেখাও যে, sinθ – cosθ = x−yx²+y²
13.যদি cot² θ + tan² θ = 103 হয়, তবে নিম্নলিখিত মান নির্ণয় কর।
(i)tan θ (ii) cot θ (iii) tan θ + cot θ (iv) tan θ – cot θ
14.যদি tan θ + sec θ = x হয়, তবে দেখাও যে
i.sin θ = x² − 1 x² + 1 এবং tan θ =12( x− 1x )
15.যদি cosec θ + cot θ = √3 হয়, তবে (i) tan θ + sin θ (ii) tan θ – sin θ –এর মান নির্ণয় কর।
16.যদি sin θ + cos θ = 75 হয়, তবে sin θ – cos θ –এর মান নির্ণয় কর।
17.যদি sin θ + cos θ = 75 এবং sin θ cos θ = 1225 হয়, তবে sin θ এবং cos θ –এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ sin θ = 45 cos θ = 35 অথবা sin θ = 35 cos θ = 45
18.যদি tan θ = sin α + cos α sin α − cos α হয়, তবে দেখাও যে tan α = sin θ + cos θsin θ − cos θ
19.যদি tan θ = sin α − cos α sin α + cos α হয়, তবে প্রমান কর √2 sin θ = sin α – cos α এবং √2 cos θ = sin α + cos α
20.যদি tan A = k হয়, তবে দেখাও যে, sec A + tan³ A. cosec A =(1 + k²)32
21.যদি (1 + 4x²) cos A = 4x হয়, তবে দেখাও যে cosec A + cot A = 1 + 2x1 − 2x
22.যদি tan² A = 1 + 2tan² B হয়, তবে প্রমান কর যে 2 sin² A = 1 + sin² B
23.যদি cos² α – sin² α = tan² β হয়, তবে দেখাও cos² β – sin² β = tan² α
24.যদি a cos θ – b sin θ = x এবং b cos θ + a sin θ = y হয়,
(ii)তবে দেখাও যে, x² + y² = a² + b²
25.যদি tan θ = 2 হয়, তবে 8 sin θ + 5 cos θsin3 θ + 2 cos3 θ + 3 cos θ –এর মান নির্ণয় কর।
26.যদি 3 sin θ + 4 cos θ = 5 হয়, তবে 4 sin θ – 3 cos θ –এর মান নির্ণয় কর।
27.যদি x = √sin θ + 1√sin θ − 1 এবং y = √sin θ − 1√sin θ + 1 হয় , যেখানে
28.sin θ = 3 tan⁴ α – 6 tan² α sec² α + 3 (1 + tan² α) ²
i.তবে x⁴ + x² y² + y⁴-এর মান নির্ণয় কর।
29.sec θ+ tan θ sec θ− tan θ =25179 হলে, sinθ, –এর মান নির্ণয় কর। [ উত্তর sinθ = 65144 ]
30.যদি tan θ = x হয় তবে sinθ, cosθ, secθ, cosecθ এবং cotθ-এর মান নির্ণয় কর।
31.যদি cot A = xy হয়, তবে দেখাও যে cosec A = √x2+y2y
32.যদি cos B =√1 − a², হয় তবে cot B-এর মান নিরনয় কর।
33.যদি x= 1 + sin θcos θ হয়, দেখাও যে, 1x= 1 − sin θ cos θ
34.যদি 2 sin A = 2 – cos A হয়, তবে sin A এর cos A এর মান নির্ণয় কর।
35.উত্তরঃ sin A = 1 অথবা 35 cos A = 0 অথবা 45
36.যদি tan A =1√3 হয়, তবে cosec² A − sec² A cosec2A+ sec² A এর মান নির্ণয় কর
37.উত্তরঃ 12
38.যদি sin A + sin² A = 1 হয়, তবে প্রমাণ কর যে cos² A + cos⁴ A = 1
39.যদি 7 sin² θ + 3 cos² θ = 4 হয়, তবে প্রমাণ কর যে tan θ = ± 1√3
40.যদি 2 (cos² θ – sin² θ) = 1, (θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ) হয়, তবে cot θ-এর মান নির্ণয় কর
41.উত্তরঃ cot θ=√3
42.যদি cos θ = p² − q² p² + q² হয়, দেখাও যে, cosec θ + cot θ = pq
43.যদি sin θ = m² − n²m2+ n² , (m > n) হয়, তবে cos θ এর সরলতম মান নির্ণয় কর।
44.উত্তরঃ 2mnm2+n2
45.যদি sin x – cos x = 1 হয়, তবে প্রমাণ কর যে sin x + cos x = ±1
46.যদি sin θ – cos θ = 713, হয় তবে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর
47.উত্তরঃ 17/13 [ θ হল ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ, অতএব ধনাত্মক মান নিয়ে]
48.যদি cos θ – sin θ = √2 sin θ হয়, তবে প্রমাণ কর যে cos θ + sin θ = √2 cos θ
49.যদি tanθ + cotθ = 2 হয়, তবে প্রমাণ কর tanθ – cotθ = 0
50.যদি secθ + tanθ = 2 হয়, তবে secθ – tanθ এবং secθ ও tanθ এর মান নির্ণয় কর।
51.উত্তরঃ secθ – tanθ = ½, secθ = 5/4, tanθ = 3/4
52.যদি sec θ – cos θ = 32 হলে, তবে sec θ + cos θ এবং sec θ এর মান নির্ণয় কর এবং θ হল ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ
53.যদি sin θ = 513 হয়, তবে cot θ + cosec θ এর মান নির্ণয় কর।
54.উত্তরঃ 5
55.যদি sin A = 35, cos B = 1213 (যেখানে A এবং B ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ) হয়, তবে tan A − tan B 1 + tan A tan B
56.যদি cos² A – sin² A = tan² B হয়, তবে প্রমাণ কর যে cos² B – sin² B = tan² A
57.যদি sec θ + tan θ = x হয়, তবে প্রমাণ কর যে sin θ = x² − 1 x² + 1
58.যদি sin A = n√(m² + n²) হয়, তবে প্রমাণ কর যে n cos A = m sin A
59.যদি x = a (sec θ + tan θ) এবং y = b (sec θ – tan θ) হয়, xy এর মান নির্ণয় কর।
60.উত্তরঃ ab
61.যদি tan² α = 1 + 2 tan² β হয়, তবে প্রমাণ কর যে √2cos α – cos β = 0
62.যদি 1 + sin² x = 3 sin x cos x হয়, তবে প্রমাণ কর যে tan x = 1 অথবা 12
63.যদি 1 + 4x² = 4x sec A হয়, তবে প্রমাণ কর যে sec A + tan A = 2x বা 12x
64.যদি x sin³ α + y cos³ α = sin α cos α এবং x sin α – y cos α = 0 হয়, তবে প্রমাণ কর x² + y² = 1
65.যদি tan θ + sin θ = m এবং tan θ – sin θ = n হয়, তবে প্রমাণ কর (m² – n²) = 4√mn
66.যদি tan A = ab, হয়, তবে দেখাও যে, a sin A + b cos A a sin A − b cos A = a² + b²a² − b²
67.যদি cot θ = xy, হয়, তবে দেখাও যে, x cos θ− y sin θ x cos θ+ y sin θ = x2− y²x² + y²
68.যদি tan θ = ab (0° < θ < 90°), হয়, তবে a sin θ + b cos θ এর মান a, b এর আকারে নির্ণয় কর (a এবং b উভয়েই ধনাত্মক)
69.যদি (a² – b²) sin θ + 2ab cos θ = a² + b² হয়, তবে cosec θ + cot θ এর মান নির্ণয় কর।
70.উত্তরঃ a+ba−b
71.যদি x = sin θ + cos θ এবং y = sec θ + cosec θ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, y (x² – 1) = 2x
72.যদি a = tan A + sin A এবং b = tan A – sin A হয়, তবে প্রমাণ কর যে, a⁴ + b⁴ – 2a²b² – 16ab = 0
73.অতি সংক্ষিপ্ত উওরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু নির্বাচনী প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i)যদি 3x = cosecα এবং 3x = cotα হয়, তাহলে 3(x2 – 1x2)-এর মান
(a) 127 (b) 181 (c) 13 (d) 19
(ii) যদি 2x = secA এবং 2x = tanA হয়, তাহলে 2(x2− 1x2 )–এর মান
(a) 12 (b) 14 (c) 18 (d) 116
(iii) tanα + cotα = 2 হলে,(tan¹³α + cot¹³α) –এর মান
(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) কোনোটিই নয়
(iv) যদি sinθ – cosθ = 0 (00 ≤ θ ≤ 900) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x এর মান
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2
(v) 2cos3θ = 1 হলে, θ-র মান
(a) 10° (b) 15° (c) 20° (d) 30°
(B) নিচের বিবৃতি গুলি সঠিক বা মিথ্যা লিখি :
(i) যদি 0° ≤ α < 90° হয়, তাহলে (sec²α + cos²α)-এর সর্বনিম্ন মান 2
(ii) (cos00 × cos10 × cos20 × cos30 × ……….. cos900)-এর মান 1
(C) শূন্যস্থান পূরণ কর :
(i) ( 4sec2θ +11 + cot2θ +3sin2θ ) –এর মান ______________
(ii) sin(θ-30°) = 12 হলে, cosθ –এর মান ______________
(iii) cos²θ – sin²θ = 12 হলে, cos⁴θ – sin⁴θ –এর মান ______________
74. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
a)যদি r cosθ = 2√3, r sinθ = 2 এবং 00< θ < 900 হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
b)যদি sinA + sinB = 2 হয়, যেখানে 0° ≤ A ≤ 90° এবং 0° ≤ B ≤ 90°, তাহলে (cosA + cosB)-এর মান নির্ণয় করি।
c)যদি 00 < θ < 900 হয়, তাহলে (9tan²θ + 4cot²θ)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।
d)(sin6α + cos6α + 3sin²α cos²α)-এর মান নির্ণয় করি।
e)যদি cosec2θ = 2cotθ এবং00< θ < 900 হয়, তাহলে θ-র মান নির্ণয় করি।
f)00 ≤θ ≤ 900হলে, sinθ =0.5 এবং cosθ=0.6হওয়া সম্ভব কিনা যুক্তিসহ লেখ।
g)00 ≤θ ≤ 900 হলে, sinθ =√32 এবং cosθ= 13হওয়া সম্ভব কিনা যুক্তিসহ লেখ।
h)00< θ < 900 হলে, প্রমাণ কর যে sinθ + cosθ > 1
i)1 + 2 sin θ cos θ কে পূর্ণবর্গ রাশি হিসাবে প্রকাশ করি।
j)00< θ < 900 হয়, তাহলে 4cosec2α + 9sin2α এর সর্ব নিম্ন মান নির্ণয় কর।
k)tan θ = √2হওয়া সম্ভব কি?
l)tan θ এর মান > 1, <1 অথবা = 1 হওয়া সম্ভব কি?
m)cosec θ = √3হওয়া সম্ভব কি?
Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities Trigonometric Ratios and Identities
